¿Cuánto debes arriesgar por apuesta?

El valor esperado, un concepto estudiado por primera vez por los matemáticos franceses Pascal y Fermat en el siglo XVII cuando intentaban resolver el problema de un juego de puntos, nos muestra cuánto podemos esperar ganar, de media, con una apuesta. Sin embargo, no proporciona mucha información respecto a cuánto capital debería arriesgar un apostante en su apuesta. Aquí es donde entra en juego la utilidad esperada.  

Explicación del valor esperado y la utilidad esperada

El valor esperado (VE) en las apuestas se puede calcular multiplicando la probabilidad de ganar (p) por la cantidad que podrías ganar por apuesta, y restando la probabilidad de perder multiplicada por la cantidad perdida por apuesta. Dado que la probabilidad de perder es equivalente a 1 (o 100 %) menos la probabilidad de ganar, llegamos a la siguiente simplificación:

EV= po-1

“o” representa las cuotas decimales europeas publicadas por la casa de apuestas. El valor esperado es la cifra más importante para cualquier apostante ya que le informa acerca de si puede esperar ganar o perder dinero a largo plazo.

Cuando el apostante haya encontrado el valor esperado, debe decidir qué parte de su capital va a apostar. Daniel Bernoulli, matemático del siglo XVIII, opinaba que solo los imprudentes tomaban decisiones sobre cuánto arriesgar basándose en el valor esperado objetivo sin considerar las consecuencias subjetivas de la apuestas, es decir, la conveniencia de lo que se puede a ganar (o perder). Esta conveniencia subjetiva se llama utilidad.

Utilidad en un entorno de incertidumbre

Nos entregan dos cofres. El primero contiene 10 000 $ en efectivo. El segundo contiene 20 000 $ en efectivo o nada; no sabemos con seguridad qué opción es cierta, pero sabemos que las dos son igualmente probables. Ahora te piden que escojas uno de los cofres. ¿Cuál escogerías? 

Este es un clásico acertijo de utilidad. Desde un punto de vista matemático, los dos cofres tienen el mismo valor esperado, es decir, 10 000 $. Si pudieras repetir este juego una y otra vez infinitamente, no importaría el cofre que escogieras. Sin embargo, en este juego solo puedes jugar una vez. No se aplica la ley de los grandes números.

Si escoges el primer cofre, ganarás seguro 10 000 $. Si eliges el segundo, lo que recibas depende del azar: si tienes suerte serás 20 000 $ más rico pero, si tienes mala suerte, no recibirás nada. Como era de esperar, debido a la cantidad de dinero, la mayoría de la gente elige la seguridad del primer cofre.

Desde la perspectiva de la utilidad, la seguridad de 10 000 $ es ciertamente mucho mejor que el riesgo de no recibir nada. La gente que percibe mayor utilidad en la seguridad que en las apuestas con la misma esperanza matemática demuestra aversión al riesgo.

¿Cómo calcular la cantidad óptima que se debe arriesgar?

Daniel Bernoulli concluyó que la aversión al riesgo es el comportamiento racional estándar de la gente a la hora de tomar decisiones en un entorno de incertidumbre. Cuantificó su hipótesis de este modo: “la utilidad resultante de cualquier pequeño incremento de la riqueza será inversamente proporcional a la cantidad de bienes previamente poseídos”. En otras palabras, cuanta más riqueza poseas, menos utilidad percibirás por ganar más. Este tipo de función de utilidad es logarítmica y es más comúnmente conocida como la utilidad marginal decreciente de la riqueza.

Una de las aplicaciones más prácticas de la teoría de Daniel Bernoulli es un plan de gestión del dinero que muchos apostantes conocen como el criterio de Kelly. Este criterio, desarrollado por John Kelly mientras trabajaba en los Laboratorios Bell de AT&T en 1956 para resolver un problema relacionado con el ruido telefónico en llamadas de larga distancia, fue adoptado rápidamente por parte de apostantes e inversores como forma de optimizar la gestión del dinero y el crecimiento de los beneficios.Aunque la motivación de Kelly era completamente diferente a la de Bernoulli, su criterio era matemáticamente equivalente a la función de utilidad logarítmica. En la práctica, orienta a un apostante para arriesgar un porcentaje de su riqueza total en una apuesta que sea tanto directamente proporcional al valor esperado (VE) como inversamente proporcional a la probabilidad de éxito.
Si recordamos que VE = po – 1 (donde p es la probabilidad “real” de éxito y o la cuota decimal de la apuesta), podemos calcular el porcentaje de riesgo de Kelly (K) de esta manera:
K= po - 1 / o - 1
Básicamente, el criterio de Kelly maximiza la utilidad logarítmica esperada. Una consecuencia de apostar con el criterio de Kelly es la volatilidad significativa en los beneficios, una característica que puede no ser la más idónea para la utilidad de todos. Además, su utilización requiere estimaciones precisas de las probabilidades “reales” de los resultados. 
Sin embargo, el enfoque de Kelly permite técnicamente que los apostantes ganadores maximicen la cuantía de sus fondos a largo plazo. Naturalmente, para hacerlo un apostante necesita una casa de apuestas que no sea sospechosa de llevar a cabo estrategias específicas de gestión del dinero como la de Kelly y, sobre todo, que no restrinja las apuestas como consecuencia de las ganancias.